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3D - Koordinatensystem

Abstand zwischen zwei Punkten:

Satz des Pythagoras: $\overrightarrow{AB} = \sqrt{(b_1 - a_1)^2+(b_2 - a_2)^2 + (b_3 - a_3)^2}$

Bei zweidimensionalen Elementen wird b3 und a3 ausgelassen

Mitte zwischen zwei Punkten:

1. Vektor bilden

2. Vektor mal 1/2

3. Den Vektor von einem Punkt abziehen (von B) oder addieren (zu A).

Vektorarten:

1. Einheitsvektor: Dieser hat die Länge 1 (also der Betrag ist 1)

2. Nullvektor: $\overrightarrow{OP}$ dieser Vektor geht vom Ursprung zu einem Punkt

3. Gegenvektor: Ist der Vektor welcher aber in die andere Richtung zeigt

4. Kollinearer Vektor: Vektor in die gleiche Richtung aber unterschiedlicher Länge

Rechenoperationen:

Skalarprodukt:

$\overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3$

Wenn das Skalarprodukt gleich 0 ist dann sind die Vektoren orthogonal.

Normalenvektor / Kreuzprodukt:

$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}= \begin{pmatrix} a_2 \cdot b_3 - a_3 \cdot b_2 \\ a_3 \cdot b_1 - a_1 \cdot b_3 \\ a_1 \cdot b_2 - a_2 \cdot b_1 \end{pmatrix} = \overrightarrow{n}$

Der Vektor $\overrightarrow{n}$ ist orthogonal zu dem Vektor $\overrightarrow{a}$ und dem Vektor $\overrightarrow{b}$

Spatprodukt:

$|\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}| = A_{Parallelogramm}$

Wenn man es durch 2 teilt erhält man die Fläche eines Dreiecks.

Man kann somit alle Flächen berechnen.

Es gibt unendlich viele Primzahlen